prednasky mb101 jaro2008 - 36
32
Tato matice je ve schodovitém tvaru. Odtud volbou x3 := s a x4 = t dostaneme dosazením do prvních dvou rovnic 3 7 x2 = −3 + 2 s − t, x1 = 2 − 2 s, tedy množina řešení je
3 7 2 − 2 s, −3 + 2 s − t, s, t , t, s ∈ R .
6.3. Gauss-Jordanova eliminace. Pokud v (rozšířené) matici systému, která je ve schodovitém tvaru, vynulujeme všechny prvky nad všemi pivoty (zpětnou eliminací), pak tuto metodu nazýváme Gauss-Jordanova eliminace. Tj. 1 0 0 . . . 0 0 0 ∗ 0 0 . . . 0 0 0 * 1 0 . . . 0 0 0 ∗ ∗ 0 . . . 0 0 0 * * 1 . . . 0 0 0 ... ... ... .. . ... ... ... * * * . . . 1 0 0 1 0 0 . . . 0 0 ... 0 . . . 0 . . . 0 .. . , . . . 0 0 0 0 . . . 1 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 0 ... 0 ∗ 0 0 . . . 0 1 0 . . . ∗ ∗ 0 . . . 0 0 1 . . .
∼
případně 1 0 0 . . . 0 0 0
∗ 0 0 . . . 0 0 0
* 1 0 . . . 0 0 0
∗ ∗ 0 . . . 0 0 0
* * 1 . . . 0 0 0
... ... ... .. . ... ... ...
* * * . . . 1 0 0
|∗ | ∗ | ∗ . | . . | ∗ | 0 |0
∼
1 0 0 . . . 0 0
... 0 | ∗ . . . 0 | ∗ . . . 0 | ∗ . .. . . . | . . . . 0 0 0 0 . . . 1 | ∗ 0 0 0 0 . . . 0 | 0 0 0 0 0 0 ... 0 | 0 ∗ 0 0 . . . 0 1 0 . . . ∗ ∗ 0 . . . 0 0 1 . . .
Příklad 43. Metodou Gauss-Jordanovy eliminace vyřešte systém z Příkladu 42. Řešení. Z Příkladu 42 máme −1 −1 2 −1 | 1 1 4 2 −1 2 | 2 ∼ 0 3 1 1 1 |3 0 −2 1 | −1 7 − 2 1 | −3 0 0| 0
1 1 0
Tato matice je ve schodovitém tvaru. Vynulováním prvků nad všemi pivoty dostáváme 3 10 2 0| 2 7 ∼ 0 1 − 2 1 | −3 . 00 0 0| 0 Odtud již volbou x3 := s a x4 = t přímo dostaneme x2 = −3 + 7 s − t, 2
3 x1 = 2 − 2 s,
