Skriptář - Knihy, Skriptá a více pro vás

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

7

Příklad 1.2.3. Řešte separovatelnou diferenciální rovnici y tg x = y. dy = y; dx 1 cos x 4.) dy = dx ; y sin x Po integrování dostaneme Řešení: 1.) tg x 2.) tg x dy = y dx; 1 dy = y (sin x) dx. sin x 3.) 1 cos x dy = dx ; y sin x

ln |y | = ln | sin x| + c. Získané řešení upravíme: |y | = eln | sin x|+c = eln | sin x| · ec = ec | sin x|. Označíme C = ±ec . Obecně takové C = 0. Někdy můžeme připustit i C = 0, jako v tomto příkladě. Můžeme tedy napsat obecné řešení naši rovnice ve tvaru y = C sin x. Příklad 1.2.4. Najděte partikulární řešení separovatelné diferenciální rovnice √ (1 + ex ) y y = ex , y (0) = 2. Řešení: 1.) (1 + ex ) y ex 3.) y dy = dx ; (1 + ex ) dy = ex ; dx 4.) 2.) (1 + ex ) y dy = ex dx; y dy =
y2 2

ex dx. (1 + ex )

Dostali jsme obecné řešení ve tvaru Hledáme partikulární řešení: Partikulární řešení je Po úpravě y =
2 √ 2 2
2

= ln(1 + ex ) + C. Potom C = 1 − ln 2.

= ln(1 + e0 ) + C.

y = ln(1 + ex ) + 1 − ln 2. 2 2 ln(1 + ex ) + 2 − ln 4. √
√

Příklad 1.2.5. Řešte separovatelné diferenciální rovnice a) x y y = 1 − x
2

b) y = y tg x e) y = ex+y
2

c) y +

1−x2

1−y 2

=0

d) y = (y − 1)(y − 2)
2

f ) (xy 2 + x) dx + (y − x2 y ) dy = 0

Řešení: a) y2 = ln |x| − x + c, po úpravě x2 + y 2 = ln Cx2 , C > 0; 2 C b) y = cos x ; c) C = arcsin x+ arcsin y, y = 1, y = −1; d) integrál dle dy počítejte rozkladem na parciální zlomky. Řešení je ln | y−2 | = x + c. Po úpravě y − 2 = Cex (y − 1). Další řešení je y = 1; y −1 e)Využijte vztah ex+y = ex ey a e−y = e1 . Řešení bude ex + e−y = C ; y 1 f) 2 ln(y 2 + 1) = 1 ln |x2 − 1| + c. Po úpravě y 2 + 1 = C (x2 − 1). 2