Skriptář - Knihy, Skriptá a více pro vás

Matematika 1

249

5. Část roviny nad osou x a pod grafem funkce y = sin x mezi x = 0 a x = π je rozdělena na dvě části přímkou x = c. Najděte c, pro které platí, že obsah levé části je roven třetině obsahu pravé části.
2 2

6. Najděte k ≥ 0 pro které platí
0

xk dx = (2 − x)k dx.
0

7. Najděte plošný obsah částí roviny omezených čarami o rovnicích: a) c) e) g) i) k) y = 6x − x2 , y = 0, x + y = 2, y = 4x − x2 − 2, y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14, y = x3 , y = 4x,
1 x = 0, x = 2 , y = 0, y = x e−2x ,

b) y = x2 − 2x, y = x, d) y = x2 , y 2 = x, f) y = 2x2 , y = x2 , y = 1,

h) xy = 4, x + y = 5, j) l) y = ex , y = e−x , x = ln 2, y = ln x, y = ln2 x,

x = π , x = π, y = 0, y = x cos x , 2 3

m) y = x, y = x + sin2 x, x = 0, x = π,

n) y = e−x sin x, y = 0, x ∈ 0, π .

8. Vypočtěte plošný obsah části roviny ohraničené parabolou y = x2 − 6x + 8 a jejími tečnami v bodech A = [1, 3] a B = [4, 0]. 9. Vypočtěte objem těles, která vzniknou rotací částí roviny popsaných danými nerovnostmi kolem osy x: √ a) −2 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x2 + 4, b) 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4x, c) e) 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sin x, −2 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ cosh x, d) f)
4 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x ,

0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ tg x. 4

10. Vypočtěte délku křivek o rovnicích: a) y = x2 , x ∈ 0, 3 , c) e) 2y = x − x2 , x ∈ 0, 1 , √ b) y = 2 x, x ∈ 1, 2 , d) y 2 = 4x3 , y > 0, x ∈ 0, 2 , f) y = ex , x ∈ 0, 1 ,

x6 y = 2 + 2 , x ∈ 1, 2 , 8x √√ g) y = ln x, x ∈ 3, 8 , i) ex +1 y = ln ex −1 , x ∈ ln 2, ln 5 , x = t2 , y =t− √

h) y = 1 − ln cos x, x ∈ ln 2, ln 5 , √ j) y = arcsin x + 1 − x2 , x ∈ 0, 1 .

11. Vypočtěte délku křivek daných parametrickými rovnicemi: a) c)
t3 3

,

t ∈ 0,

3,

b) d)

x = cos t + t sin t, t ∈ 0, 2π , y = sin t − t cos t, x = sin2 t, t ∈ 0, π . 3 y = sin2 t tg t,

x = cos4 t, t ∈ 0, π , 2 y = sin4 t,